Question

如图，已知抛物线y=0.5x²+bx+c与x轴交于A（-4，0）和B（-1，0）两点，与y轴交于C点 （1）求此抛物

如图，已知抛物线y=0.5x²+bx+c与x轴交于A（-4，0）和B（-1，0）两点，与y轴交于C点 （1）求此抛物线解析式 （2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标 （3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标
图

Answer 1

【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．
【解答】：（1）由题意，得：8-4b+c=0 0.5+b+c=0，解得b=3/2 c=-2；∴y=1/2x²+3/2x-2；
（2）由（1）知：C（0，-2）；则AC²=AO²+OC²=20，BC²=BO²+OC²=5；
而AB²=25=AC²+BC²；∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，∴EF⊥BC；∵S△CEF=2S△BEF，∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，∴BE/AB=BF/BC=13/；∵AB=5，∴BE=5/3；OE=BE-OB=-2/3，故E（-2/3，0）；
（3）设P点坐标为（m，1/2m^2+3/2m-2）；已知A（-4，0），C（0，-2），
设直线AC的解析式为：y=kx-2，则有：-4k-2=0，k=-1/2；
∴直线AC的解析式为y=-1/2x-2；∴Q点坐标为（m，-1/2m-2）；
则PQ=-1/2m-2-（1/2m^2+3/2m-2）=-1/2m^2-2m；
∴当m=-2，即P（-2，-3）时，PQ最大，且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（-2，-3）．