Question

求幂级数n=0到无穷x^3n/(3n)！的和函数。

能用将3n代换成n然后直接写e^x吗？要是不能的话麻烦问一下是为啥

Answer 1

不可以。e^x=∑x^n/n！

怎么凑都凑不出（3n）！

Answer 2

这个题不能直接凑因为这里给的是3n它＝1+x^3/3!+x^6/6!....而不是e^x的幂级数形式=1+x+x^2/2!+x^3/3!.....如果你要直接换分母是对不上的。这个题正确做法是解微分方程，你不难发现题目给的是3n,他的分母是1 3 6 9....可以看出来和e^x的分母1 2 3 4...形式相邻差2个，你对这个幂级数求一次导和二次导相加不难得到e^x的形式。然后解出这个微分方程

追问

谢谢！！

Answer 3

分享解法如下，转化成微分方程求解。设S(x)=∑(x^3n)/(3n)!。
连续3次有S(x)对x求导，有S'''(x)=S(x)。故，其特征方程为r³-1=0。其特征根为r=1，α=-1/2+√3i/2，β=-1/2-√3i/2。∴S(x)的通解为S(x)=ae^x+be^(αx)+ce^(βx)。
又，S(0)=1，S'(0)=S''(0)=0，解得a=b=c=1/3。∴S(x)=(1/3)[e^x+e^(αx)+e^(βx)]=(1/3)e^x+(2/3)[e^(-x/2)]cos[(√3/2)x]。
供参考。

Answer 4

你先不管和函数，你先用你想的“替换方法”先替换和式看看你能不能替换成e^x的形式，这怎么可能替换出来

追问

好的，先说谢谢，其实我就是不明白为啥不能换才提问的，麻烦能解答一下为啥不能换吗。直观上我知道展开以后肯定换不成，但是要是在展开前直接换了就错了。其实我就想搞明白什么情况下不能像我想的呢样直接换。

追答

你没法换啊？你要想换总得有个换得方式吧？
例如e^x的第二项是x，你这个级数项里哪来这个x?你根本凑不出来啊

追问

好的，谢谢

Answer 5

级数是 n 从 0， 1， 2， 3， ...... ，一直见到 无穷大。、
若 N = 3n， 则变为 N 从 0， 1/3， 2/3， 1，4/3, 5/3, ...... ，
一直见到 无穷大, , 无公式可代。
你这是原题吗 ？ 请附印刷版原题图片。

追问

懂了，谢谢，我就这一点不太明白为啥