Question

极值的第二充分条件为什么不必要

关于求极值的充分条件的一个疑问~
求函数的极值,用的是极值的第一和第二充分条件,求得的;
但这都是充分条件,不是充分必要条件,也就是说,有些函数取得极值时,不能推出第一和第二充分条件中的条件,那么即这些函数用极值的第一和第二充分条件求,不是会漏掉这些极值点吗?
如,f(x)=2-x^2(1+sin^2(1/x)) x不等于0
=2 x等于0
此分段函数在x=0处取得极值,根据极值的定义;
但我用第一和第二充分条件,是求不到的,那怎么办?怎么处理此类问题?

Answer 1

请注意：函数的极值点只存在于两类点之中：一类是它的驻点,一类是它的不可导点.换言之,只有这两类点才是函数可能的极值点.
以本题为例,先求导函数
f'(x)=-2x[1+(sin(1/x))^2]+cos(1/x) (x不等于0)
f'(0)=0 [注意这可是用导数的定义计算出来的]
尽管 x=0 是函数的驻点,但是在该点两侧很难判断f'(x)的符号；至于极值第二充分条件在这里更是不能使用,因为函数在x=0的一阶导数不连续,所以二阶导数根本不存在.
这时只剩下一个办法——用极值的定义：
f(x)>2=f(0) (x不等于0),所以f(0)是极小值.
请注意,定义也是一个充分必要条件!