已知函数f(x)=3x^3-x^2+ax-5在区间[1,2]上单调递增,则a的取值范围是
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函数f(x)=3x^3-x^2+ax-5在区间[1,2]上单调递增,
也就是在此区间上导函数值大于0,
即f’(x)=9x^2-2x+a>0在[1,2]恒成立
f‘(x)是二次函数,(负无穷大,1/9]导函数单调递减,[1/9,正无穷大)导函数单调递增,
[1,2]包含于[1/9,正无穷大)
f’(1)=9-2+a-5>=0
即a>=-2
也就是在此区间上导函数值大于0,
即f’(x)=9x^2-2x+a>0在[1,2]恒成立
f‘(x)是二次函数,(负无穷大,1/9]导函数单调递减,[1/9,正无穷大)导函数单调递增,
[1,2]包含于[1/9,正无穷大)
f’(1)=9-2+a-5>=0
即a>=-2
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f(x)=3x^3-x^2+ax-5
f'(x)=9x^2-2x+a
f'(x)函数为二次函数,开口向上,
当其判别式小于等于零即a>=1/9时,二次函数恒>=0,f(x)单调递增,与题意相符。
当其判别式大于零即a<1/9时,二次函数两个根为[1-根号下(1-9a)]/9和[1+根号下(1-9a)]/9,
两根分别位于x轴上1的左边和右边,所以该二次函数在[1,2]区间上不可能恒为正数,所以函数f(x)在该区间上不是单调递增,与题意不符符。
最终a>=1/9。
f'(x)=9x^2-2x+a
f'(x)函数为二次函数,开口向上,
当其判别式小于等于零即a>=1/9时,二次函数恒>=0,f(x)单调递增,与题意相符。
当其判别式大于零即a<1/9时,二次函数两个根为[1-根号下(1-9a)]/9和[1+根号下(1-9a)]/9,
两根分别位于x轴上1的左边和右边,所以该二次函数在[1,2]区间上不可能恒为正数,所以函数f(x)在该区间上不是单调递增,与题意不符符。
最终a>=1/9。
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