Question

证明ln(n+1/n) 大于 1/n+1 n大于等于2

Answer 1

你好!
数学之美团为你解答
ln
[
(n+1)
/
n
]
>
1/(n+1)
，n
≥
2
ln
(
1+
1/n)
>
1/(n+1)
设
x
=
1/n
，x
>
0
1/(n+1)
=
1/(1/x
+1)
=
x
/
(1+x)
=
1
-
1/(1+x)
即证
ln(1+x)
>
1
-
1/(1+x)
令
f(x)
=
ln(1+x)
-
1
+
1/(1+x)
f'(x)
=
1/(1+x)
-
1/(1+x)²
=
x/(1+x)²
>
0
f(x)是增函数
∴
f(x)
>
f(0)
=
0
即
ln(1+x)
>
1
-
1/(1+x)
故
ln
[
(n+1)
/
n
]
>
1/(n+1)
，n
≥
2
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