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D(x)=1,x有理数;D(x)=0,x是无理数。很显然,对任意的x,可以找到一个有理点列xk和无理点列yk,趋于这个点。对应的函数值的极限分别是1和0,因此极限不存在,更不连续。
R(p/q)=1/q,R(无理点)=0。只要证明了对任意的a,当x趋于a时,有lim R(x)=0,则在无理点函数值=极限值,连续;在有理点,函数值不等于极限值,不连续。
对任意的e>0,考虑集合E=(a--1,a+1)\{a|,因为满足不等式1/q>e的正整数只有有限个,因此在集合E中只有有限个点x1,x2,....,xk满足函数值>e,记d=min{|xi--a|}>0,则在(a--d,a+d)\{a}中没有能满足函数值>e的点,即对任意的x位于a的空心d邻域,必有|R(x)|<e,故lim R(x)=0。于是结论成立。
R(p/q)=1/q,R(无理点)=0。只要证明了对任意的a,当x趋于a时,有lim R(x)=0,则在无理点函数值=极限值,连续;在有理点,函数值不等于极限值,不连续。
对任意的e>0,考虑集合E=(a--1,a+1)\{a|,因为满足不等式1/q>e的正整数只有有限个,因此在集合E中只有有限个点x1,x2,....,xk满足函数值>e,记d=min{|xi--a|}>0,则在(a--d,a+d)\{a}中没有能满足函数值>e的点,即对任意的x位于a的空心d邻域,必有|R(x)|<e,故lim R(x)=0。于是结论成立。
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