Question

图中1/(1-x)^2怎么展开为幂级数的？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

1/(1-x)²=【1/（1-x）】’
=（∞∑n²·xⁿ）'
=∞∑n1·nx^n-1
其他类似题型参考
1、求x/(1-x^2)展开为x的幂级数
f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x)
-
1/(1+x)]
因为1/(1-x)=∑(n=0,∞)
x^n，x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞)
(-x)^n，x∈(-1,1)
所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞)
[1-(-1)^n]
x^n，x∈(-1,1)
写得再清楚一点，就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞)
x^(2n+1)，x∈(-1,1)
其实，如果细心一点观察，就可以发现：
x/(1-x^2)=lim(n→∞)
x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞)
x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
这正是首项为x，公比为x^2的等比级数的收敛函数~~~
因此，直接可推：f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞)
x^(2n+1)，x∈(-1,1)
2、求x/(1+x^2)展开为x的幂级数
f(x)=x/(1+^2)
f(x)/x=1/(1+x^2)
同取积分：
∫(0,x)
f(t)/t
dt
=∫(0,x)
1/(1+t^2)
dt
=arctanx
=∑(n=0,∞)
(-1)^n
*
1/(2n+1)
*
x^(2n+1)
然后，同对x求导
f(x)/x=[∑(n=0,∞)
(-1)^n
*
1/(2n+1)
*
x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞)
[(-1)^n
*
1/(2n+1)
*
x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞)
(-1)^n
*
x^(2n)
因此，
f(x)=∑(n=0,∞)
(-1)^n
*
x^(2n+1)，x∈(-1,1)