Question

已知三角形ABC,D为BC上一点，E为AD上一点，角BED=角BAC=2角DEC,求证BD=2CD

Answer 1

证明：在AD上截取AF=BE(1),连结CF,作CG‖BE交直线AD于G.
由∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠BED=∠BAE+∠ABE
及已知∠BED=∠BAC，得∠CAF=∠ABE，
又由AC=BA及（1）式，可见△ACF≌△BAE（边角边），
于是有CF=AE（2），以及∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠BEA，
∴∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED（3）.
∵CG‖BE，∴∠CGF=∠BED，∴∠CFG=∠CGF，
∴CG=CF（4）
由∠CFG=∠DEC+∠ECF，已知∠BED=2∠DEC及（3）式，
得∠ECF=∠DEC，∴CF=EF，由此及（1）、（2）两式，
得BE=2CF（5）.
再由CG‖BE，得BD∶CD=BE∶CG（6）.
综合（4）、（5）、（6）三式，得
BD∶CD=2CF∶CF=2.
故BD=2DC.

Answer 2

证明：在AD上截取AF=BE(1),连结CF,作CG‖BE交直线AD于G.
由∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠BED=∠BAE+∠ABE
及已知∠BED=∠BAC，得∠CAF=∠ABE，
又由AC=BA及（1）式，可见△ACF≌△BAE（边角边），
于是有CF=AE（2），以及∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠BEA，
∴∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED（3）.
∵CG‖BE，∴∠CGF=∠BED，∴∠CFG=∠CGF，
∴CG=CF（4）
由∠CFG=∠DEC+∠ECF，已知∠BED=2∠DEC及（3）式，
得∠ECF=∠DEC，∴CF=EF，由此及（1）、（2）两式，
得BE=2CF（5）.
再由CG‖BE，得BD∶CD=BE∶CG（6）.
综合（4）、（5）、（6）三式，得
BD∶CD=2CF∶CF=2.
故BD=2DC.