Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+b(a,b∈R).

Answer 1

(1)
f(x)'=-3x^2+2ax
因为函数y=f(x)的图象上任意两个不同点的连线斜率都小于1，即

-3x^2+2ax<1恒成立

△=(2a)^2-12<0

解得
-√3<a<√3
(2)
k=-3x^2+2ax
要求|k|≤1成立，即
|-3x^2+2ax|≤1在x∈[0,1]上成立

化简得
|3（x-a/3)^2-a^2
/3|≤1

当a<=0时，f(x)'在x∈[0,1]是单调增函数，此时只需考虑|f(0)'|<=1,|f(1)'|<=1，此时无解

当a>=3时，f(x)'在x∈[0,1]是单调减函数，此时只需考虑|f(0)'|<=1,|f(1)'|<=1，无解

当0<a<3时，f(x)'在x∈[0,1]即有增也有减，此时需考虑|f(0)'|<=1，|f(a/3)'|<=1，|f(1)'|<=1都成立，

解得
1<=a<=√3
总上可知，1<=a<=√3