已知函数f(x)=-x^3+ax^2+b(a,b∈R).
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(1)
f(x)'=-3x^2+2ax
因为函数y=f(x)的图象上任意两个不同点的连线斜率都小于1,即
-3x^2+2ax<1恒成立
△=(2a)^2-12<0
解得
-√3<a<√3
(2)
k=-3x^2+2ax
要求|k|≤1成立,即
|-3x^2+2ax|≤1在x∈[0,1]上成立
化简得
|3(x-a/3)^2-a^2
/3|≤1
当a<=0时,f(x)'在x∈[0,1]是单调增函数,此时只需考虑|f(0)'|<=1,|f(1)'|<=1,此时无解
当a>=3时,f(x)'在x∈[0,1]是单调减函数,此时只需考虑|f(0)'|<=1,|f(1)'|<=1,无解
当0<a<3时,f(x)'在x∈[0,1]即有增也有减,此时需考虑|f(0)'|<=1,|f(a/3)'|<=1,|f(1)'|<=1都成立,
解得
1<=a<=√3
总上可知,1<=a<=√3
f(x)'=-3x^2+2ax
因为函数y=f(x)的图象上任意两个不同点的连线斜率都小于1,即
-3x^2+2ax<1恒成立
△=(2a)^2-12<0
解得
-√3<a<√3
(2)
k=-3x^2+2ax
要求|k|≤1成立,即
|-3x^2+2ax|≤1在x∈[0,1]上成立
化简得
|3(x-a/3)^2-a^2
/3|≤1
当a<=0时,f(x)'在x∈[0,1]是单调增函数,此时只需考虑|f(0)'|<=1,|f(1)'|<=1,此时无解
当a>=3时,f(x)'在x∈[0,1]是单调减函数,此时只需考虑|f(0)'|<=1,|f(1)'|<=1,无解
当0<a<3时,f(x)'在x∈[0,1]即有增也有减,此时需考虑|f(0)'|<=1,|f(a/3)'|<=1,|f(1)'|<=1都成立,
解得
1<=a<=√3
总上可知,1<=a<=√3
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2024-10-13 广告
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