Question

微积分基本定理的条件问题

为什么微积分基本定理要求被积函数f(x)连续？可积不行么？

Answer 1

1、在该定理的证明过程中用到了f(x)的连续，如扒氏果没有连续这个条件，后面的证明过程就不成立了。2、如果将条件换成可积，结论是不对的。例如分段函数
f(x)=x x≠1
2 x=1
这个函数只有一个可去间断点，因此在[0,2]内是可积的，但是这个函数的原函数不存在，因此微积分基本定理中的连续不能换成可积。

注：连续==>可积，连续==>原函数存在，但原函数存旦此扰在与模旦可积是两码事，不一样的。原函数存在不一定可积，可积也不一定原函数存在。

追问

微积分基本定理的描述是：若f(x)在[a,b]连续，F(x)是其在[a,b]上的一个原函数，则
∫(a到b)f(x)dx=F(b)-F(a)，不知我这样说有没有错误。
如果没有错误的话，那么你所举出的反例并不能成为反例，甚至从逻辑上说和基本定理的内容并没有必然联系，此外，你所给出的第一点种没有了连续的条件证明过程在哪一步不成立能否为我指明呢？
感谢你的回答，谢谢。

追答

你对微积分基本定理的描述不完整，微积分基本定理包括两个内容：
（1）若f(x)在[a,b]连续，则F(x)=∫[a-->x] f(t)dt 是f(x)一个原函数；
（2）若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫(a到b)f(x)dx=F(b)-F(a)。
如果只对后一个命题来看，对f(x)是否连续并没有要求，也就是你的描述中f(x)连续这个条件是不需要的。如果你只把第（2）条当作微积分基本定理的话，那么连续是可以去掉的，你问连续是否可以换成可积，这个也是没必要的，关键是f(x)的原函数存在就行。f(x)连续是为了保证第（1）条。如果不连续，F(x)=∫[a-->x] f(t)dt不一定是f(x)的原函数。

Answer 2

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