Question

求帮忙解一道微积分的数学题！帮忙啊！

求曲线所围成的图形面积 x=a(cost)^3,y=a(sint)^3

Answer 1

由对称性，
S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
＝12a^2×∫(0→π/2) (sint)^4×(cost)^2 dt
＝12a^2×∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt
＝12a^2×[3/4×1/2×π/2－5/6×3/4×1/2×π/2]
＝(3πa^2)/8

追问

第一步我就看不懂ydx Y里面没X怎么对X求导

追答

y=y(t)
x=x(t)
有一个隐函数
y=f(x)
是可以求导的

追问

这道题帮我也解下好不？你数学太强了

追答

Σn(a(n)-a(n-1))
=(a2-a1)+2(a3-a2)+3(a4-a3)...
=-a1-a2-a3-...
=-Σan
收敛

求加分

Answer 2

看高数书上册360页,画出了星形线的图,它是完全对称的

追问

我这书没360叶。你的书比我高级点

追答

由对称性，
S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
＝12a^2×∫(0→π/2) (sint)^4×(cost)^2 dt
＝12a^2×∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt
＝12a^2×[3/4×1/2×π/2－5/6×3/4×1/2×π/2]
＝(3πa^2)/8