Question

线性代数 设矩阵A为N阶方阵,试证明A的N次方的秩等于A的N+1次方的秩

Answer 1

做法比较多,可以考虑以A的N+1次方和A的N次方为系数的齐次线性方程组的解空间.这里介绍一种使用Jordan典范型的证法.设A的Jordan典范型为J,则存在可逆阵使得A=T^(-1)*J*T,A^(n)=T^(-1)*J^(n)*T,A^(n+1)=T^(-1)*J^(n+1)*T,故只要证J^(n)和J^(n+1)的秩相等.如果你了解Jordan典范型的话,我想这是显然的.