Question

方向导数的几何意义与偏导数几何意义的区别？

Answer 1

关于 方向导数存在 但是 偏导数不存在的情况，可以这样理解：

大家先思考一个观点：偏导数的本质就是 一元函数的导数（比如，固定Y，求X的偏导数）。基于这个观点，一元函数 的导数有3种。（左导数，右导数，导数），导数存在的条件是：左导数和右导数都存在且相等。对此，大家思考一下：左导数是不是就是一个方向导数，右导数是不是另一个方向导数呢？
学习一元函数的时候，大家一定遇到过：左导数和右导数皆存在，但是 导数不存在的情况吧。（左导数≠右导数）；对此，进行概念上的延伸：方向导数存在，但是 方向为𝞹 的方向导数和反方向 方向导数为0 的方向导数不相等，则偏导数不存在

Answer 2

楼上已经说的很清楚了，我也说点自己的理解。在立体坐标系中，函数的变化率=(末函数值-初函数值)/(长度)，有正负且大小与选取方向有关。而我们平时说的变化率是指平面直角坐标系中的斜率(即导数)或者在物理中指斜率的大小。
方向导数是在某一方向上，对(末函数值-初函数值)/(长度)取极限，反映的是沿某一方向的函数变化率。对x的偏导数是在y=C这些平面上，对(末函数值-初函数值)/(末自变量-初自变量)取极限，反映的是沿x轴正向的函数变化率。
对x轴负方向，(末函数值-初函数值)/(长度)得到的变化率(即方向导数)与(末函数值-初函数值)/(末自变量-初自变量)(即对x的偏导数)正好相差一个负号，由此验证偏导的变化率的选取方向仅是该坐标轴正向。
顺便补充一点：方向导数存在，偏导数不一定存在。比如圆锥面的尖端处不存在偏导，但是沿四周存在方向导数。

Answer 3

下面的叙述是个人理解，也许不是十分严密，请参考。
偏导数：函数在某点处延坐标轴正向，随着该自变量的变化，而引起的函数值的变化率。
方向导数：函数在某点的任一方向上，随着该自变量的变化，而引起的函数值的变化率。

因此它们的区别主要如下：
1、比较明显，偏导数只是延坐标轴方向，而方向导数的方向任意；
2、那么是不是当我们延着坐标轴方向求方向导数时，结果会与偏导数一样呢？我们看到如果是求“延着坐标轴正向”的方向求方向导数，与偏导数是一样的；如果是求“延着坐标轴负向”的方向求方向导数，结果与偏导数差一个负号。