Question

请高手帮我解决下列问题，希望尽快给我答案，并且把详细的解题过程也写出来。

(1) 已知 a4+b4+c4+d4=abcd 且a,b,c,d均为正 a=b=c=d
(2)因式分解 x4+x3+(9/4)x2+x+1
(3)已知关于x的整式能被x+3整除，且除以x+2、x--3时，余式分别为—4和6，求满足上述条件的次数最低的整式。
（4）已知a+b+c=0, l求证：[(a2+b2+c2)/2]*[(a3+b3+c3)/3]=[(a5+b5+c5)/5}
（5）已知x5--5qx+4r能被（x--c)2整除， 求证 r4=q5
(6)若三角形的三边满足（a--b)c3--(a2--b2)c2--(a3--a2b+ab2--b3)c+a4--b4=0 判断三角形的形状。
（7）满足方程y4+2x2+1=4x2y的所有整数对（x ,y)
(8)已知方程（x--a)(x--b)(x--c)(x--d)=9的整数根，a, b,c,d为互不相等的整数，求证a+b+c+d为4的倍数

Answer 1

(1)a4+b4+c4+d4=abcd
a4+b4+c4+d4-abcd=a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2
=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
∵a,b,c,d均为正数 ∴a=b,c=d,ab=cd
∴a=b=c=d
(2)不要拿一个不可分解的好不？
由首位系数知道，如果可分解，正负1一定有一个是方程零解
(3)若是一次
a(x+3)=b(x+2)-4=c(x-3)+6
ax+3a=bx+2b-4=cx-3c+6

ax+3a=bx+2b-4
所以a=b,3a=2b-4,a=b=-4

ax+3a=cx-3c+6
a=c,3a=-3c+6,a=c=1
两个a矛盾

若是2次
则ax^2+bx+c=A(x+3)=B(x+2)-4=C(x-3)+6
所以x=-3时，A(x+3)=0,则ax^2+bx+c=9a-6b+c=0 (1)
x=-2,B(x+2)-4=-4,所以ax^2+bx+c=4a-2b+c=-4 (2)
x=3,C(x-3)+6=6,所以ax^2+bx+c=9a+6b+c=6 (3)
(3)-(1)
12b=6,b=1/2,不是整数
所以不是2次

若是3次
则ax^3+bx^2+cx+d=A(x+3)=B(x+2)-4=C(x-3)+6
所以x=-3时，A(x+3)=0,则ax^3+bx^2+cx+d=-27a+9b-3c+d=0 (1)
x=-2,B(x+2)-4=-4,所以ax^3+bx^2+cx+d=-8a+4b-2c+d=0=-4 (2)
x=3,C(x-3)+6=6,所以ax^3+bx^2+cx+d=27a+9b+3c+d=6 (3)
(3)-(1)
54a+6c=6
9a+c=1
c=1-9a (4)
(3)+(1)
18b+2d=6
9b+d=3
d=3-9b (5)
代入(2)
-8a+4b-2(1-9a)+(3-9b)=-4
10a-5b=-5
2a-b=-1
则不妨令a=1，则b=3
c=1-9a=-8
d=3-9b=-24
所以是x^3+3x^2-8x-24
(4)由a+b+c=0有－c＝a+b
a^3＋b^3 ＝ （a+b)（a^2－ab＋ b^2）＝－c〔（a＋b)^2 － 3ab〕＝－c（c^2－3ab）
a^3＋b^3＋c^3=3abc
a^2+b^2+c^2=(a+b)^2-2ab+c^2=2c^2-2ab
∴左边=abc(c^2-ab)
a^5+b^5+c^5=a^5+b^5-(a+b)^5=-(5ab^4+10a^2b^3+10a^3b^2+5a^4b)
=-5ab(b^3+2ab^2+2a^2b+a^3)
=-5ab[b^2(b+2a)+a^2(a+2b)]
=-5ab[b^2(a-c)+a^2(b-c)]
=-5ab[ab(a+b)-(b^2+a^2)c]
=5abc(ab+a^2+b^2)
=5abc[(a+b)^2-ab]
=5abc(c^2-ab)
∴右边=abc(c^2-ab) ∴[(a2+b2+c2)/2]*[(a3+b3+c3)/3]=[(a5+b5+c5)/5}
（5）(x-c)^2=x^2-2cx+c^2
首先要被整除肯定要乘x^3

那么得到 x^5-2cx^4+c^2x^3，

因为多了-2cx^4+c^2x^3 所以再乘以2cx^2

得到2cx^4-4c^2x^3+2c^3x^2，

则多了-3c^2x^3+2c^3x^2

那么就再乘以3c^2x得到3c^2x^3-6c^3x^2+3c^4x，

现在多了-4c^3x^2，最后乘以4c^3得到4c^3x^2-8c^4x+4c^5

整理一下就是x^5+5c^4x+4c^5
现在得到x^5-5qx+4r=(x-c)^2(x^3+2cx^2+3c^2X+4c^3)=x^5+5c^4x+4c^5
5q=5c^4 q=c^4
4r=4c^5 r=c^5
r^4=c^20=q^5
（6）等式两边的每项都乘2，然后把等式右边的移到左边，然后凑成3个差的平方，右边为0，因为0+0+0=0，所以三个差的平方值为0，即a-b=b-c=a-c，所以a=b=c，所以所以三边相等，即该三角形为等边三角形
（7）题目打错了吧？应该2x^4吧？算了半天发现好像不对
∵y4+2x4+1=4x2y
（2x4-4x2y+2y2）+（y4-2y2+1）=0 2（x2-y）2+（y2-1）2=0，
∴x2-y=0，y2-1=0，
∴原方程的所有整数解为（1，1）、（-1，1）；
（8）（x--a)(x--b)(x--c)(x--d)=9有整数根,
a, b,c,d为互不相等的整数
9=1x3x(-1)x(-3)
∴四格因式一定为1，3，-1，-3
设整数根为m,则m-a+m-b+m-c+m-d=4m-(a+b+c+d)=1+3+(-1)+（-3）=0
∴a+b+c+d=4m
∴a+b+c+d为4的倍数

强烈要求加分，累死了