Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=-1与x=2处有极值．（1）求函数...

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=-1与x=2处有极值． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求f（x）在[-2，3]上的最值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
∵函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=-1与毕返x=2处有极值，
∴-1，2是f′（x）=0的两个实数根，
∴3-2a+b=012+4a+b=0，解得a=-32b=-6．
∴f（x）=x3-32x2-6x+1．
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-3x-6=3（x-2）（x+1）．
利用f′（x）=0，解得x=-1，2．
列出表格：
x
[-2，-1）
-1
（-1，2）
2
（2，3]
f′（铅数仿x）
+
0
-
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，f（-1）=92；当x=2时，函数f（x）取得极小槐纤值，f（2）=-9．又f（-2）=-1，f（3）=-72．
可得：当x=-1时，函数f（x）取得最大值92；当x=2时，函数f（x）取得最小值-9．