Question

已知函数f(x)=2asin(2x-π/6)+b的定义域为[0,π/2]，值域为[-5,1]，求常数a,b的值。 过程~

Answer 1

b-2a<=f(x)=2asin(2x-π/6)+b<=2a+b
定义域为[0,π/2]，
b 不影响单调性,
f(x)=2asin(2x-π/6)+b
当a>0时,
2kπ-π/2=<2x-π/6<=2kπ+π/2为增
即2kπ-π/3<=x2<=2kπ+2π/3
即:kπ-π/6<=x<=kπ+π/3为增
所以k=0,时:[0,π/3]为增,其它k值均不在定义域为[0,π/2]内
而:[π/3,π/2]时为减.
f(0)=-2a /2+b=b-a
f(π/3)=2a+b(最大值)
f(π/2)=a+b
f(π/2)-f(0)=a+b-b+a=2a>0
所以最小值为f(0),即
f(0)=b-a=-5
f(π/3)=2a+b=1
解得a=2, b=-3

当a<0时,
即:kπ-π/6<=x<=kπ+π/3为减
所以k=0,时:[0,π/3]为减,其它k值均不在定义域为[0,π/2]内
而:[π/3,π/2]时为增.
f(0)=-2a /2+b=b-a
f(π/3)=2a+b(最小值)
f(π/2)=a+b
f(π/2)-f(0)=a+b-b+a=2a<0
所以最大值为f(0)
f(0)=b-a=1
f(π/3)=2a+b=-5
解得a=-2, b=-1

Answer 2

f(x)=2asin(2x-π/6)+b
x∈[0,π/2]
2x-π/6∈[-π/6,5π/6]
sin(2x-π/6)∈[-1/2,1]
若a>0 最大值=2a+b=1 最小值=2a×(-1/2)+b=-5 解得a=2 b=-3
若a<0 最大值=2a×(-1/2)+b=1 最小值=2a+b=-5 解得a=-2 b=-1
均符合条件 所以a=2 b=-3 或a=-2 b=-1

Answer 3

解： x∈[0,π/2]
则 2x-π/6 ∈[-π/6,5π/6]
所以 sin(x-π/6) ∈[-1/2,1]
(1) a>0
最大值为2a+b=1
最小值为-a+b=-5
所以 a=2,b=-3
(2)a<0
最小值为2a+b=-5
最大值为-a+b=1
所以 a=-2,b=-1

Answer 4

解：
x∈[0,π/2] ，2x-5π/6∈[-5/6π, π/6] 关键1是有一个递减区间 和一个递增区间。
f（x）=2a[asin(2x-5/6π)+1]+b b为定值
asin(2x-5/6π)+1的值域是 [0,3/2]-----------------------------这个是个没有横跨 正负的区间，而且是 非负区间，便于讨论。
∵a<0,所以在 0处取得最大值，在
3/2处取得最小值
有方程 b=1
3a+b=-5
a=-2