Question

一道计算二重积分的题目，答案过程写的比较简略，请问有大神帮我写一下详细一些的计算过程吗？

第14题

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Answer 1

图中的解法是应用极坐标变换求解。详细过程是，x=rcosθ，y=rsinθ。代入积分区域D，有r²=π。
又，D是x²+y²=π围成的闭区域。∴0≤θ≤2π，0≤r≤√π。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,√π)r²[e^(-r²)]rdr。而，∫(0,√π)r²[e^(-r²)]rdr=(1/2)∫(0,√π)r²[e^(-r²)]d(r²)【分部积分法】=(1/2)[1-(π+1)e^(-π)]。
∴原式=(1/2)[1-(π+1)e^(-π)]∫(0,2π)dθ=π[1-(π+1)e^(-π)]=…。
供参考。