Question

(1+a)*(1+a^2)(1+a^3)...*a^n

求数列极限题
xn=(1+a)(1+a^2)(1+a^3).(1+a^n),0
xn表示Xn,n为下标.首先谢谢大家的好心回复，我个人可以只是知道，Xn＞1/(1-a)＞1，因为令Xn=(1-a)Xn/(1-a)＞｛1-a^[(2^(k+1)]｝/(1-a)，其中2^k＜n＜2^(k+1).当k趋向无穷大时，limXn＞1/(1-a)。如果知道limXn＜limYn=1/(1-a),由夹挤定理可知，limXn=1/(1-a),因为我有该题答案，却没有解题过程!

Answer 1

取对数
ln xn = ln(1+a) + ln(1+a^2) + ln(1+a^3) + . + ln(1+a^n)
利用对数函数的级数展开式
ln(1+x) = Σ (-1)^n * x^(n+1) / n+1
得
lnxn = Σ (a+a^2+...+a^n) - Σ(a^2+a^4+...+a^2^n) / 2+ ... + (-1)^n * (Σ (a^n+a^n^2+...+a^n^n)) / n+...
= (1-a^(n+1))/(1-a) - (1-a^2(n+1))/(1-a^2) / 2 + ... + (-1)^n (1 - a^n^(n+1)) / (1-a^n) / 2 + .
取极限得
=1/(1-a) - 1/(1-a^2) / 2 + 1/(1-a^3) / 3 + ... + (-1)^n* 1/(1-a^n) / n + .
按级数展开得
=(1+a+a^2+a^3+...+a^n+...) - 1/2 * (1+a^2+a^4+a^6+...+a^2n+.) + 1/3*(1+a^3+a^6+...+a^3n+...) + ... + (-1)^n * 1/n*(1+a^n+a^2n+...+a^nn + ...) + ...
=(1-1/2+1/3-1/4+1/5-.+1/n+...)(1+a+a^2+a^3+...+a^n+...)
这个利用交错级数取极限得
=ln2 /(1-a)
所以可以得到xn = e^(ln2/(1-a))=2^(1/(1-a))