Question

过椭圆x^2+2y^2=2的焦点引一条倾斜角为45度的直线与椭圆交于A,B两点,椭圆的中心为O,则三角形AOB的面积为

Answer 1

先求出椭圆的c=1, 不妨设过左焦点的直线方程为 y=tan45° (x +1) 即y=x+1,代入椭圆方程
得3x²+4x=0, 解出 x1=0 , x2=-4/3, y1=1, y2=-1/3 .用两点间距离公式可求出AB 长为4√2 /3.
再由点到直线距离公式求得原点到直线 x-y+1=0 的距离为d=1/√2,
再由面积公式 S=1/2 ∣AB∣d=1/2 *4√2 /3 *(1/√2)=2/3.

追问

.y^2=1/9 y2=-1/3 这步为什么是负的呀

追答

因为我"不妨"设直线过左焦点,且斜率为1,所以直线与椭圆交点为A(0,1)和B(-4/3,-1/3).
若直线过右焦点,交点为A(0,-1),B(4/3,1/3).结果是一样的. 面积都是2/3.