Question

该点的邻域 该点及该点的邻域

关于函数局部有界性
如果函数f在 某点连续则f在该点的某邻域 内有界.
这个某邻域是什么意思.是只要是 该点的邻域就可以了?还是特定的一个邻域?对该邻域有什么要求吗?

Answer 1

领域是指足够小的范围,无论有多小都可以.
用数学语言表达是：
如果f（x）在x0点连续,对于任意小的正实数e（一般标准的用希腊字母小西格玛表示）,都有f（x）在（x0-e,x0+e)内部有界.
下面是证明：
因为函数f（x）在x0点连续的定义是：对于任意一个正实数A,都存在一个正实数e,当|x－x0|<e时,恒有|f（x）－f（x0）|< 那么显然,在（x0-e,x0+e)区域内,f（x0）-A < f（x) < A + f（x0）
有界的定义就是在（a,b）内,m< f（x）< M
故由函数连续得出在某个领域有界的结论.
大概写写就是这样,不学高等数学好多年了,数学语言中可能会有点瑕疵,与楼主共勉.
想了想,再加几句吧,方便你理解.
这个命题的含义就是,如果函数在某点连续,那么在某点一定有一个领域,这个邻域中函数是有界的.
通俗点说,如果在这点附近取了一个范围,函数不能满足有界,那继续缩小范围,当范围小到一定程度,在这个范围里面函数是有界的.</e时,恒有|f（x）－f（x0）|>