如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,∠C>∠B,F为AE上一点,且FD⊥BC于D点。试推出∠EFD,∠B与∠C的关系式
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证明: 作AG⊥BC
已知FD⊥BC FD//AG
∠EFD=∠EAG(两种情况一样)
设∠EAG=∠EFD=a
∠CAG=x
则∠C=90°-X EA平分∠A
∠BAE=∠CAE=∠EAG+∠CAG=X+a
∠BAG=∠BAE+∠EAG=X+2a
∴∠B=90°-X-2a ∠C=90°-X
a=((90°-X)-(90°-X-2a))/2
∠EFD=(∠C-∠B)/2
已知FD⊥BC FD//AG
∠EFD=∠EAG(两种情况一样)
设∠EAG=∠EFD=a
∠CAG=x
则∠C=90°-X EA平分∠A
∠BAE=∠CAE=∠EAG+∠CAG=X+a
∠BAG=∠BAE+∠EAG=X+2a
∴∠B=90°-X-2a ∠C=90°-X
a=((90°-X)-(90°-X-2a))/2
∠EFD=(∠C-∠B)/2
追问
不好意思,请标上说明,还有详细解答过程。如果写得好,我会加分的。题目没有说FD//AG
追答
(1)因为FD⊥BC
所以,∠EFD=90°-∠FED
而,根据三角形的外角等于不相邻的内角之和,有:
∠FED=∠B+∠BAE
而,已知AE为∠BAC的平分线
所以,∠BAE=∠A/2
所以,∠EFD=90°-[∠B+(∠A/2)]
而,∠A+∠B+∠C=180°
所以,∠A=90°-(∠B+∠C)/2
所以,∠EFD=90°-[∠B+90°-(∠B+∠C)/2]=(∠C-∠B)/2
(2)当点F在AE的延长线上时,如图2,其余条件都不变,你在题(1)中探究的结论还成立吗?并说明理由。
结论成立!
因为FD⊥BC
所以,∠EFD=90°-∠FED
而,∠FED与∠AEC为对顶角,所以:∠FED=∠AEC
而,根据三角形的外角等于不相邻的内角之和,有:
∠AEC=∠B+∠BAE
而,已知AE为∠BAC的平分线
所以,∠BAE=∠A/2
所以,∠AEC=90°-[∠B+(∠A/2)]
而,∠A+∠B+∠C=180°
所以,∠A=90°-(∠B+∠C)/2
所以,∠EFD=90°-[∠B+90°-(∠B+∠C)/2]=(∠C-∠B)/2
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解:(1)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC.
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C);
∴∠BAE=1/2[180°-(∠B+∠C)];
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+1/2[180°-(∠B+∠C)]=90°+1/2(∠B-∠C).
又∵FD⊥BC,
∴∠FDE=90°;
∴∠EFD=90°-[90°+1/2(∠B-∠C)=1/2(∠C-∠B).
(2)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC.
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C);
∴∠BAE=1/2[180°-(∠B+∠C)];
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+1/2[180°-(∠B+∠C)]=90°+1/2(∠B-∠C).
又∵FD⊥BC,
∴∠FDE=90°;
∴∠EFD=90°-[90°+1/2(∠B-∠C)=1/2(∠C-∠B).
∴∠BAE=1/2∠BAC.
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C);
∴∠BAE=1/2[180°-(∠B+∠C)];
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+1/2[180°-(∠B+∠C)]=90°+1/2(∠B-∠C).
又∵FD⊥BC,
∴∠FDE=90°;
∴∠EFD=90°-[90°+1/2(∠B-∠C)=1/2(∠C-∠B).
(2)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC.
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C);
∴∠BAE=1/2[180°-(∠B+∠C)];
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+1/2[180°-(∠B+∠C)]=90°+1/2(∠B-∠C).
又∵FD⊥BC,
∴∠FDE=90°;
∴∠EFD=90°-[90°+1/2(∠B-∠C)=1/2(∠C-∠B).
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解:(1)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=12∠BAC.
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C);
∴∠BAE=12[180°-(∠B+∠C)];
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+12[180°-(∠B+∠C)]=90°+12(∠B-∠C).
又∵FD⊥BC,
∴∠FDE=90°;
∴∠EFD=90°-[90°+12(∠B-∠C)=12(∠C-∠B).
∴∠BAE=12∠BAC.
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C);
∴∠BAE=12[180°-(∠B+∠C)];
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+12[180°-(∠B+∠C)]=90°+12(∠B-∠C).
又∵FD⊥BC,
∴∠FDE=90°;
∴∠EFD=90°-[90°+12(∠B-∠C)=12(∠C-∠B).
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