Question

如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F为AE上一点，且FD⊥BC于D点。试推出∠EFD，∠B与∠C的关系式

当点F在AE的延长线上时，如图2，其余条件都不变，你在题1中推导的结论还成立吗？请说明理由。

Answer 1

证明： 作AG⊥BC
已知FD⊥BC FD//AG
∠EFD=∠EAG(两种情况一样)
设∠EAG=∠EFD=a
∠CAG=x
则∠C=90°-X EA平分∠A
∠BAE=∠CAE=∠EAG+∠CAG=X+a
∠BAG=∠BAE+∠EAG=X+2a
∴∠B=90°-X-2a ∠C=90°-X
a=（（90°-X）-(90°-X-2a)）/2
∠EFD=(∠C-∠B)/2

追问

不好意思，请标上说明，还有详细解答过程。如果写得好，我会加分的。题目没有说FD//AG

追答

（1）因为FD⊥BC
所以，∠EFD=90°-∠FED
而，根据三角形的外角等于不相邻的内角之和，有:
∠FED=∠B+∠BAE
而，已知AE为∠BAC的平分线
所以，∠BAE=∠A/2
所以，∠EFD=90°-[∠B+(∠A/2)]
而，∠A+∠B+∠C=180°
所以，∠A=90°-(∠B+∠C)/2
所以，∠EFD=90°-[∠B+90°-(∠B+∠C)/2]=(∠C-∠B)/2

（2）当点F在AE的延长线上时，如图2，其余条件都不变，你在题（1）中探究的结论还成立吗？并说明理由。
结论成立！
因为FD⊥BC
所以，∠EFD=90°-∠FED
而，∠FED与∠AEC为对顶角，所以：∠FED=∠AEC
而，根据三角形的外角等于不相邻的内角之和，有:
∠AEC=∠B+∠BAE
而，已知AE为∠BAC的平分线
所以，∠BAE=∠A/2
所以，∠AEC=90°-[∠B+(∠A/2)]
而，∠A+∠B+∠C=180°
所以，∠A=90°-(∠B+∠C)/2
所以，∠EFD=90°-[∠B+90°-(∠B+∠C)/2]=(∠C-∠B)/2

Answer 2

解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1/2∠BAC．
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）；
∴∠BAE=1/2[180°-（∠B+∠C）]；
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+1/2[180°-（∠B+∠C）]=90°+1/2（∠B-∠C）．
又∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°；
∴∠EFD=90°-[90°+1/2（∠B-∠C）=1/2（∠C-∠B）．

（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1/2∠BAC．
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）；
∴∠BAE=1/2[180°-（∠B+∠C）]；
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+1/2[180°-（∠B+∠C）]=90°+1/2（∠B-∠C）．
又∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°；
∴∠EFD=90°-[90°+1/2（∠B-∠C）=1/2（∠C-∠B）．

Answer 3

解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC．
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）；
∴∠BAE=12[180°-（∠B+∠C）]；
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+12[180°-（∠B+∠C）]=90°+12（∠B-∠C）．
又∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°；
∴∠EFD=90°-[90°+12（∠B-∠C）=12（∠C-∠B）．