Question

请问x^n+1如何因式分解成一次因式和二次因式的乘积?

Answer 1

谢谢各位网友的提醒，重新解答如下：
我们将问题放在实数范围内讨论。
x^n+1因式分解所得的一次因式，必是(x+1)，
分解所得的二次因式，必是(x^2+1)或(x^2+mx+1)，其中m是常数。
一般说来，n是奇数时，有一个一次因式，其余是二次因式；
n是偶数时，只有二次因式，没有一次因式。
n=3时，可以用公式：x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
n=4时，可以用配方法：
x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=[x^2+(√2)x+1]
[x^2-(√2)x+1]；
也可以用待定系数法：
设x^4+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1
则a+b=0,ab+2=0，解得a=√2，b=-√2，
所以x^4+1=[x^2+(√2)x+1]
[x^2-(√2)x+1]
n≥5时，一般要用待定系数法。
n=5时，n^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)
设x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1
则a+b=-1,ab+2=1，解得a=(-1+√5)/2，b=(-1-√5)/2，
所以x^5+1=(x+1)[x^2+(-1+√5)x/2+1][x^2+(-1-√5)x/2+1]
n=6时，n^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)，用待定系数法：
设x^4-x^2+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1
则a+b=0,ab+2=-1，解得a=√3，b=-√3，
所以x^6+1=(x^2+1)[x^2+(√3)x+1][x^2-(√3)x+1]
随着n增大，难度也加大，用待定系数法可以列出方程组，
例n=7时，n^7+1=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)
设x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2+ax+1)(x^4+bx^3+cx^2+dx+1)
=x^6+(a+b)x^5+(ab+c+1)x^4+(ac+b+d)x^3+(ad+c+1)x^2+(a+d)x+1
则a+b=-1，ab+c+1=1，ac+b+d=-1，ad+c+1=1，a+d=-1
但a、b、c、d用通常方法解不出来。
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