Question

已知函数f（x）=|x-a|+|x-1|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（...

已知函数f（x）=|x-a|+|x-1|，a∈R． （Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≤4的解集； （Ⅱ）不等式f（x）＜2的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=|x-3|+|x-1|，
即有f（x）=4-2x，x＜12，1≤x＜32x-4，x≥3，
不等式f（x）≤4即为x＜14-2x≤4或x≥32x-4≤4或1≤x＜32≤4，
即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，
则为0≤x≤4，
则解集为[0，4]；
（Ⅱ）依题意知，f（x）=|x-a|+|x-1|≥2恒成立，
∴2≤f（x）min；
由绝对值三角不等式得：f（x）=|x-a|+|x-1|≥|（x-a）+（1-x）|=|1-a|，
即f（x）min=|1-a|，
∴|1-a|≥2，即a-1≥2或a-1≤-2，
解得a≥3或a≤-1．
∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（-∞，-1]．