Question

如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外

如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG平分线于点F．
（1）试说明EO=FO
(2) 当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形么、请证明你的结论

Answer 1

（1）MN∥BC
∠BCE=∠OEC,∠GCF=∠OFC
CE平分∠BCA,CF平分∠ACG
∠BCE=∠OEC,∠GCF=∠OCF
∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC
∴OE=OC=OF
(2) 连接BE、BF，交CE于P点。
∠ECO+∠FCO=90º,即∠ECF=90º
△PCF为直角三角形，则∠FPC为锐角
四边形BCFE对角线CE与BF不垂直相交
∴四边形BCFE不可能是菱形。

Answer 2

1
证明：∵CE是∠BCA的平分线
∴∠BCE=∠ACE
∵MN||BC
∴∠BCE=∠ACE=∠CEN (内错角相等)
得出EO=CO
同理可得CO=FO
∴EO=FO
2
∵EO=FO=CO
根据矩形对角线相互平分，
只有AO=FO=EO=CO，
AO=CO
∴当O为AC的中点时。四边形BCFE会是菱形

追问

您的第二题证明出来是矩形OK？