Question

在矩形ABCD中，E是BC的中点，将三角形ABE沿AE折叠后得到三角形AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，

猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明
将上面的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，上面的结论是否成立？请说明理由。

Answer 1

GF=GC

证明：连EG,(1)当ABCD是矩形时：因为BE=EC    BE=EF

∴EF=EC  EG=EG

∠EFG=∠ECG

RT△EFG≅RT△ECG

∴GF=GC

(2)当四边形ABCD是平行四边形时：

因为∠AFE=∠ABE

∠GFE=180°-∠AFE

因为AB∥CD   ∴∠C=180°-∠ABE

∴∠GFE=∠C

作EM∥AB交AG于M,则AM=MG

∠MEA=∠BAE

而∠BAE=∠MAE

∴∠MEA=∠MAE

∴MA=ME=MG

∠MEG=∠MGE

又ME∥CG(同平行于AB)

∴∠MEG=∠EGC

∴∠MGE=∠EGC

EG=EG

∴△EGF≅△EGC(AAS)

∴GF=GC

Answer 2

解：（1）猜想线段GF=GC，
证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，
∴△ECG≌△EFG，
∴FG=CG；
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，∠B=∠AFE，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵矩形ABCD改为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AEF=180°-∠B=180°-∠D，
∴∠ECD=∠EFG，
∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF，
∴∠GFC=∠GCF，
∴FG=CG

Answer 3

如下图