Question

如图已知在⊿ABC中,P是边BC上的一个动点,PQ//AC

如图已知在⊿ABC中,P是边BC上的一个动点,PQ//AC,PQ与边AB相交于点Q,AB=AC=10,BC=16,BP=x, ⊿ APQ的面积为y
(1)求y关于x的函数解析式,并求出它的定义域
(2)探索⊿ APQ与⊿ ABP能否相似?若相似请求出x的值,若不相似请说明理由.

Answer 1

1、自己画图，不难证明三角形PBQ与三角形CBA相似，所以角BQP=角A、BP/BC=PQ/AC=BQ/BA，可以推出PQ=5x/8、AQ=10-5x/8，然后根据余弦定理BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cosA，推出cosA=7/25，推出sinA=24/25，所以sinAQP=sinBQP=sinA=24/25，三角形APQ的面积为AQ*PQ*(sinAQP)/2=(10-5x/8)*(5x/8)*24/25/2=(-3x^2)/10+3x，y=(-3x^2)/10+3x，x取值范围为0<x<16，如果取0和16那么就不是三角形了；
2、证明相似有角边角，只要证明两个角相等即可，此时角BAP为共有角，所以只需证明余下两个角中的一个即可（这里证明角B和角APQ是否相等），根据余弦定理可以求出cosB=4/5，所以sinB=3/5，根据余弦定理可求出AP=根号（x^2-16x+100）,根据上一问推出的面积y的函数，可以用角APQ来计算面积为PQ*AP*(sinAPQ)/2=(5x/8)*(根号(x^2-16x+100))*(sinAPQ)/2，将sinAPQ=sinB=3/5代入该市，若x有解说明⊿ APQ与⊿ ABP能相似，代入有
(5x/8)*(根号(x^2-16x+100))*(3/5)/2 = (10-5x/8)*(5x/8)*24/25/2 （第一问的面积公式）
化简得：根号(x^2-16x+100) = 16-x，两边平方得：
x^2-16x+100 = x^2-32x+256 再化简得：
16x=156
x=39/4 该值小于16（64/4），所以当x=39/4 时⊿ APQ与⊿ ABP相似。