Question

将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE 证明：（1）BF=DF （2）AE//BD

（3）若AB=6，BC=10，分别求AF,BF的长，并求三角形FBD的周长和面积

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠CBD＝∠FDB。······①
∵E是由C沿BD折叠得到的，∴∠CBD＝∠FBD。······②
由①、②，得：∠FDB＝∠FBD，∴BF＝DF。

第二个问题：
∵ABCD是矩形，∴AB＝DC、∠BCD＝∠BAD＝90°。
∵E是由C沿BD折叠得到的，∴DE＝DC、∠BED＝∠BCD＝90°。
由∠BAD＝∠BED＝90°，得：A、B、D、E共圆。
由AB＝DC、DE＝DC，得：AB＝DE，而A、B、D、E共圆，
∴AE∥BD。［同圆中，夹等弦的直线平行］

第三个问题：
1、求AF
∵ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10。
由第一个问题的结论，有：BF＝DF，∴BF＝DF＝AD－AF＝10－AF。
∵ABCD是矩形，∴AB⊥AF，∴由勾股定理，有：BF^2＝AB^2＋AF^2，
∴（10－AF）^2＝36＋AF^2，∴100－20AF＋AF^2＝36＋AF^2，∴20AF＝100－36＝64，
∴AF＝64/20＝16/5。

2、求BF
∵AF＝16/5，∴BF＝10－AF＝10－16/5＝34/5。

3、求△FBD的周长
∵AB⊥AD，∴由勾股定理，有：BD＝√（AB^2＋AD^2）＝√（36＋100）＝2√34。
∴△FBD的周长＝BF＋DF＋BD＝34/5＋34/5＋2√34＝68/5＋2√34。

4、求△FBD的面积
△FBD的面积＝（1/2）DF×AB＝（1/2）×（34/5）×6＝102/5。