将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,连接AE 证明:(1)BF=DF (2)AE//BD
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第一个问题:
∵ABCD是矩形,∴BC∥AD,∴∠CBD=∠FDB。······①
∵E是由C沿BD折叠得到的,∴∠CBD=∠FBD。······②
由①、②,得:∠FDB=∠FBD,∴BF=DF。
第二个问题:
∵ABCD是矩形,∴AB=DC、∠BCD=∠BAD=90°。
∵E是由C沿BD折叠得到的,∴DE=DC、∠BED=∠BCD=90°。
由∠BAD=∠BED=90°,得:A、B、D、E共圆。
由AB=DC、DE=DC,得:AB=DE,而A、B、D、E共圆,
∴AE∥BD。[同圆中,夹等弦的直线平行]
第三个问题:
1、求AF
∵ABCD是矩形,∴AD=BC=10。
由第一个问题的结论,有:BF=DF,∴BF=DF=AD-AF=10-AF。
∵ABCD是矩形,∴AB⊥AF,∴由勾股定理,有:BF^2=AB^2+AF^2,
∴(10-AF)^2=36+AF^2,∴100-20AF+AF^2=36+AF^2,∴20AF=100-36=64,
∴AF=64/20=16/5。
2、求BF
∵AF=16/5,∴BF=10-AF=10-16/5=34/5。
3、求△FBD的周长
∵AB⊥AD,∴由勾股定理,有:BD=√(AB^2+AD^2)=√(36+100)=2√34。
∴△FBD的周长=BF+DF+BD=34/5+34/5+2√34=68/5+2√34。
4、求△FBD的面积
△FBD的面积=(1/2)DF×AB=(1/2)×(34/5)×6=102/5。
∵ABCD是矩形,∴BC∥AD,∴∠CBD=∠FDB。······①
∵E是由C沿BD折叠得到的,∴∠CBD=∠FBD。······②
由①、②,得:∠FDB=∠FBD,∴BF=DF。
第二个问题:
∵ABCD是矩形,∴AB=DC、∠BCD=∠BAD=90°。
∵E是由C沿BD折叠得到的,∴DE=DC、∠BED=∠BCD=90°。
由∠BAD=∠BED=90°,得:A、B、D、E共圆。
由AB=DC、DE=DC,得:AB=DE,而A、B、D、E共圆,
∴AE∥BD。[同圆中,夹等弦的直线平行]
第三个问题:
1、求AF
∵ABCD是矩形,∴AD=BC=10。
由第一个问题的结论,有:BF=DF,∴BF=DF=AD-AF=10-AF。
∵ABCD是矩形,∴AB⊥AF,∴由勾股定理,有:BF^2=AB^2+AF^2,
∴(10-AF)^2=36+AF^2,∴100-20AF+AF^2=36+AF^2,∴20AF=100-36=64,
∴AF=64/20=16/5。
2、求BF
∵AF=16/5,∴BF=10-AF=10-16/5=34/5。
3、求△FBD的周长
∵AB⊥AD,∴由勾股定理,有:BD=√(AB^2+AD^2)=√(36+100)=2√34。
∴△FBD的周长=BF+DF+BD=34/5+34/5+2√34=68/5+2√34。
4、求△FBD的面积
△FBD的面积=(1/2)DF×AB=(1/2)×(34/5)×6=102/5。
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