Question

（1）已知函数f(x)=2x-12x+1，判断函数的奇偶性，并加以证明．（2）已...

（1）已知函数f(x)=2x-12x+1，判断函数的奇偶性，并加以证明． （2）已知函数f(x)=lg1-x1+x， ①求f（x）的定义域； ②证明函数f（x）是奇函数． ③判断并证明f（x）在定义域内的单调性．

Answer 1

（1）解：∵已知函数f(x)=2x-12x+1，
∴函数f（x）的定义域为R，且满足f（-x）=2-x-12-x+1=1-2x1+2x =-2x-12x+1=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
（2）解：①∵已知函数f(x)=lg1-x1+x，∴1-x1+x＞0，即
x-1x+1＜0，即
（x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，
故函数的定义域为（-1，1）．
②由于函数的定义域为（-1，1），关于原点对称，且满足f（-x）=lg1+x1-x=lg(1-x1+x)-1=-lg1-x1+x=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
③令t（x）=1-x1+x=-1+21+x，
显然函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数．
证明：设-1＜x1＜x2＜1，
则有f（x1）-f（x2）=[-1+21+x1]-[-1+21+x2]=21+x1-21+x2=2(x2-x1)(1+x1)(1+x2)．
由题设可得，（1+x1）＞0，（1+x2）＞0，2（x2-x1）＞0，
∴2(x2-x1)(1+x1)(1+x2)＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数．
根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=lg1-x1+x 在定义域（-1，1）上是减函数．