Question

如图,正方形abcd内接于⊙o,⊙o的半径为2,以点a为圆心,ac长为半径画弧交ab

圆 数学题
如图.正方形ABCD中,以A点为圆心,AB为半径画弧.该弧与CD为直径的圆O相交于点E.BE的延长线交圆O于点G.DE的延长线交BC于F.
1.求证 BF=CF
2.若正方形的边长为2cm 求BE的长度
3.求证 OG//BC
图我发不上来..55555

Answer 1

1、连接AE、OE,取DE中点H,连接AH、OH,根据条件,AH、OH都垂直于DE,那A、H、O三点共线.令正方形边长为2a,OD=a,AO=根号5a,这里,令根号5=b,
AO=ab,根据射影定理,OD^2=OH*OA,即：a^2=OH*ab,OH=a/b,
DH=(a^2-(a/b)^2)^0.5=2a/b=2OH,很明显,三角形OHD相似于三角形FCD,那有：FC=1/2CD,第一题得证.
2、这里a=1cm,做EN垂直AB于N,延长DF,角AB延长线于P,根据三角形相似,很明显,有BP=AB=2a,三角形ADP面积为：4a*2a/2=4a^2=4cm^2,三角形ADE面积：DE*AH/2=2a/b*（ab-a/b)=2a^2-2a^2/b^2=8a^2/5=1.6cm^2,那三角形APE面积为：4-1.6=2.4,那EN=2.4*2/4a=1.2,三角形ABE面积：2*1.2/2=1.2
令BE=2x,BE上的高为h,有：x^2+h^2=4,xh=1.2,BE=4/根号10
3、设DC与BG交于I,作OL垂直CD交圆O于L,连接IL,接上题,a=1cm,EN=1.2,BE=4/根号10,那BN=0.4,三角形EBN相似于三角形BIC,可得出CI=2/3.那OI=1/3.那OI/OL=（1/3）/1=1/3=CI/BC,角LOI=角BCI=90度,那三角形LOI相似于三角形BCI,于角BIC=角LIO,于是B、I、L三点共线,即G、L共点.那OL||BC,得证