Question

fx-fy≤(x-y)^2,求证对任意正整数n任意ab,

设函数f（x）=x^2+bIn(x+1) 若b=-1,证明对任意正整数n,不等式f（1/1）+……f（1/k）

Answer 1

证明：
当b=-1时,f(x) = x² - ln(1+x)；
(1) 证明引理,对于任意x∈(0,1],f(x)= x² - ln(1+x) < x³；
设函数 h(x) = x² - ln(1+x) - x³,显然 h(0) = 0；
h‘(x) = 2x - 1/(1+x) -3x²
= [2x(1+x) - 3x²(1+x) -1]/(1+x)
= [2x(1+x) - 2x²(1+x) -x²(1+x)-1 ]/(1+x)
= [2x(1+x)(1-x)- (x²+1)- x³]/(1+x)
= [2x(1-x²) -(x²+1) - x³]/(1+x)
对于任意x∈(0,1]
∵ 1-x² ≤1
∴ h‘(x) = [2x(1-x²) -(x²+1) - x³]/(1+x) < [ 2x -(x²+1) - x³]/(1+x)
==> h‘(x) ≤ [ -(1-x)² - x³]/(1+x) /** -(1-x)² - x³ h'(x) < 0
而 h(0) =0；
∴ 对于任意 0< x ≤ 1, h(x)