Question

请教各位学霸这道大学高等数学题，非常感谢！

有些没思路，不知从哪里下手

Answer 1

f(x)在[0,1]上连续，且其在[0,1]上的平均值为1/2,设F(x)是f(x)的一个原函数，则
∫<0,1>f(x)dx=F(1)-F(0)=1/2,①
f(x)+a∫<1,x>f(y)f(y-x)dy=1,两边对x在[0,1]上积分得
1/2+a∫<0,1>dx∫<1,x>f(y)f(y-x)dy=1,②
∫<0,1>dx∫<1,x>f(y)f(y-x)dy
=-∫<0,1>dx∫<x,1>f(y)f(y-x)dy
=-∫<0,1>f(y)dy∫<0,y>f(y-x)dx
=∫<0,1>f(y)dy*F(y-x)|<0,y>
=∫<0,1>f(y)[F(0)-F(y)]dy
=∫<0,1>[F(0)f(y)-f(y)F(y)]dy
=(1/2)F(0)-(1/2){F(1)]^2-[F(0)]^2}
=(1/2)F(0)-(1/2)[F(1)-F(0)][F(1)+F(0)]
=(1/2)F(0)-(1/4)[1/2+2F(0)](由①）
=-1/8.
代入②，解得a=-4.

Answer 2

x->0-时，e^(tx) -> 0, f(x) ~ x -> 0 x->0+时，e^(tx)->无穷大，f(x) ~ 1 显然函数在x=0处发生了跳跃

Answer 3

让数学老师去做一下。