Question

设随机变量X的概率密度为f(x)=2x/π05,0<x<π ;f(x)=0,其他。求Y=sinX的概率密

Answer 1

在这个范围内每个y对应两个x（当然啦，除了y=1这一点。不过单点的概率密度函数总是没有实际影响的，所以不用单独考虑它）
因此：fy(y)=(f(x)*|dx/dy|,当x=arcsiny)+(f(x)*|dx/dy|,当x=π-arcsiny)
（其中arcsiny和π-arcsiny是在0<x<π范围内sinx=y的两个解）
dy/dx=cosx，即dx/dy=1/cosx
所以fy(y)=2*arcsiny/(π^2*|cos(arcsiny)|)+2*(π-arcsiny)/(π^2*|cos(π-arcsiny)|)
考虑到cos(π-arcsiny)=-cos(arcsiny)
化简=2/(π*根号(1-y^2))

Answer 2

f(x)是单调函数，那么g(y)=f(h(y)).|h'(y)|，0<y<sinπ,y为其他时g(y)=0