Question

在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部的一点，且∠APB﹥∠APC。求证：PB＜PC

Answer 1

由于AB=AC，可将△ABP旋转至AP'C。

∵ AP‘=AP，∴ ∠APP'=∠AP'P

∵ ∠AP’C = ∠APB > ∠APC

∴ ∠PP'C > ∠P'PC 

∴ BP=CP' < PC

Answer 2

因为 ab=ac
所以 角abc=角acb
设：pb=pc
所以 角pbc=角pcb
所以 角abp=角acp
所以 三角形apb 全等于 三角形apc
所以 角apb=角apc
所以 矛盾

设：BP>CP
所以 角pbc<角pcb （大角对大边）
所以 角abp>角acp
所以 cos角abp<cos角acp
所以 (AB^2+BP^2-AP^2)/2AB*BP < (AC^2+CP^2-AP^2)/2AC*CP
所以 BP(AP^2-AC^2)-CP^2*BP<CP(AP^2-AB^2)+CP*BP^2
所以 (AP^2-AB^2)/2AP*BP + CP/2AP >(AP^2-AC^2)/2AP*CP + BP/2AP
要用到bp/2ap > cp/2ap ， 不等式左边加上 bp/2ap - cp/2ap ， 右边减去 bp/2ap - cp/2ap
进一步变形出 cos角apb > cos角apc
所以 角apb<角apc
矛盾
所以pb<pc