Question

如图，已知园O是三角形ABC的外接园，AB是园O的直径，D是AB延长线上的一点，AE垂直CD交DC的延长线于E，CF垂

直AB于F，且CE=CF，（1）求证：DE是圆O的切线，（2）若AB=6，BD=3，求证AE和BC的长。

Answer 1

1、连接CO，
因CE=CF，角CFA=角AEC=90度，且共边AC（且是直角三角形AFC与直角三角形AEC的最长边），直角三角形AFC与直角三角形AEC全等（勾股定理，三边等）
则角EAC=角CAF，角EAC+角ECA=90度
而在三角形OAC中，OA=OC=圆半径，故角CAF=角ACO=角EAC
则由角EAC+角ECA=90度，可得角ECA+角ACO=90度，故DE是圆O的切线

2、在直角三角形OCD中，OC=3（AB=6），OD=OB+BD=6，
则可得角COD=60度，角CDO=30度，
在直角三角形EAD中，AD=AB+BD=9，AE=4.5 （角CDO=30度）

角COD=60度，又角CAF=角ACO，角CAF+角ACO=角COD
故角CAF=1/2*角COD=30度，
又园O是三角形ABC的外接园，AB是园O的直径，则三角形ABC是直角三角形
因AB=6，角CAF =30度，故BC=3