Question

已知向量a=(sinx,3/2)，b=(cosx,-1) （1）若向量a//向量b时，求2cos平方x-sin2x的值 （2）

（2）若（a+b)乘以b=（根2）/4,且x∈（0，π/2），求x的值。

Answer 1

1）因为 a//b ，所以，由向量共线的条件可得 -sinx-3/2*cosx=0 ，
化简得 tanx=-3/2 ，
因此 2(cosx)^2-sin2x=[2(cosx)^2-2sinxcosx]/[(sinx)^2+(cosx)^2] （凑上分母1）
=(2-2tanx)/[(tanx)^2+1] （分子分母同除以 (cosx)^2 ）
=(2+3)/(9/4+1) （代入）
=20/13 。
2）由已知得 a*b+b^2=sinxcosx-3/2+(cosx)^2+1=1/2*sin2x+[1+cos2x]/2-1/2
=√2/2*sin(2x+π/4)=√2/4 ，
因此 sin(2x+π/4)=1/2 ，
由 x∈（0，π/2）得 2x+π/4=5π/6 ，
解得 x=7π/24 。

Answer 2

(1)
a//b
=>sinx/ (3/2) = cosx/ (-1)
sinx = -(3/2)cosx
tanx = -3/2
tan2x = -3/(1- 9/4) = 12/5

2(cosx)^2 - sin2x
= cos2x-sin2x +1
= (5/13-12/13)+1 or (-5/13-12/13)+1
= 6/13 or -4/13
(2)
(a+b).b =√2/4
(sinx+cosx, 1/2).(cosx,-1) = √2/4
sinxcosx + (cosx)^2 -1/2 =√2/4
sin2x+ cos2x = √2/2
sin(2x+π/4) = √2/2
2x+π/4 =3π/4
x = π/4

Answer 3

（1）a向量与b向量平行，可得sinx=-3/2cosx，由(cosx)2+(sinx)2=1得cosx的平方=4/13,带入得
2cos平方x-sin2x=2*4/13-2sinx*cosx=2*4/13-2*(-3/2)*4/13=20/13
(2)由若（a+b)乘以b=（根2）/4得，（sinx+cosx）*cosx-1/2=根号2/4,解得x=7π/24或11π/24.
大概思路就是这样，但是不知道算对米有。