观察发现：第n项为 a(n)*b(n)*(a(n)+b(n))，而b(n)=a(n-1)+b(n-1), a(n)=n
进一步简化，得到通式：A(n)=n*[1+2+...(n-1)+b1]*[1+2+...n+b1]
即：A(n)=n*[n*(n-1)/2+b1]*[n*(n+1)/2+b1], (b1=1,n>=1)
如n=2时，A(2)=2*2*4; n=10时，A(10)=10*46*56
其前n项和：
R(n)=sum(A(n))=sum(n^5/4+(b1-1/4)n^3+n*b1^2)=sum(n^5/4+(3/4)n^3+n)
这里涉及到n，n^3和n^5的前n项和。
下面讨论n^k的前n项和
参考"自然数前n项平方和、立方和公式及证明 - 百度文库 (baidu.com)"网页链接
设S(n)=1^k+2^k+...+n^k=sum((n)^k)
则S(n+1)=sum((n+1)^k)
我们如果构造下面的等式：
则有：
利用二项式系数的性质，展开后合并，得到：
点击输入图片描述
又因为：
所以要使构造的等式成立，对应阶数的系数要相等，即：
写成矩阵形式：
简记为C{a}={b}，因为|C|=(k+1)!不为0，{a}存在唯一解。
求系数{a}可以用克莱姆法则
其中Δm表示C中第m列用{b}代替后得到的行列式的值。
求得{a}后，我们构造的
是一个新数列的通项。因为前面构造时，满足条件：
因此这数列每一项都是相等的。
而数列的第一项, 即n=1时，
那么
对于k=1，表示的是1^1+2^1+...n^1,
由前面的方程可以求得{a}=[1/2,1/2]', 因此S(n)=n^2/2+n/2+0=n(n+1)/2
对于k=3, 求得{a}=[6/24, 12/24, 6/24,0]', 因此S(n)=n^4/4+n^3/2+n^2/4+0+0=(n(n+1)/2)^2
对于k=5, 求得{a}=[1/6, 1/2, 5/12, 0, -1/12, 0]',
因此S(n)=n^6/6+n^5/2+5*n^4/12-n^2/12
现在求n^5/4+(3/4)n^3+n的前n项和, 分别代入上面的求和公式，得到
R(n)=1/4*(n^6/6+n^5/2+5*n^4/12-n^2/12)+3/4*(n(n+1)/2)^2+n(n+1)/2
当n=10，有R(10)=57530
你好，谢谢你的回答！这道题答案上提示的是第一个因数乘3，然后左领右舍法。这个能给我讲一下吗？谢谢了
有详细方法吗
这个题显然是希望我们往自然数规律变化数列去考虑。通过观察我们可以看见每个乘积的第一项是自然数，第二项和第三项的变化应该是我们要去考虑的，
这里可以看见这些数可以归结为1、2、4、7、11、16、22...37、46、56。
他们的差为1、2、3、4、5、6、7...10正好跟我们的第一项一致，那么我们可以尝试用左邻右舍裂差法来尝试解题：
1*2*4-1*1*2（1的前面一项应该是差为0的1）=1*2*3=3*1*1*2
2*4*7-1*2*4= 2*4*6=3*2*2*4
4*7*11-2*4*7=4*7*9=3*3*4*7
46*56*67（67为56的后一项差为11）-37*46*56=30*46*56=3*10*46*56
将这些式子相加得到“
46*56*67-1*1*2=3倍的所求和。
所以和=1/3*（46*56*67-1*1*2）=57530
