Question

如图，已知：△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ//AB，P点在AC上（与点A、C不重合）,Q点在BC上

Answer 1

（1）因为BC平方+AC平方=AB平方，所以，△ABC是直角三角形，角C=90度。
△ABC的面积=3*4*1/2=6。
△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等，则△PQC的面积为△ABC面积的一半。
因为PQ//AB，所以，△PQC相似△ABC，
所以，（CP/CA）^2=△PQC的面积/△ABC的面积=1/2，
CP=2根号2。
（2）由（1）知，△PQC相似△ABC，所以，CP/AC=CQ/BC=PQ/AB，设其比值为k，
则CP=kAC=4k，CQ=kBC=4k，PQ=kAB。
AP=AC-CP=（1-k）AC=4（1-k），BQ=BC-CQ=（1-k）BC=3（1-k）。
由 CP+CQ+PQ=AP+BQ+PQ+AB，得 CP+CQ=AP+BQ+AB。
4k+3k=4-4k+3-3k+5，k=5/7，
CP=4*5/7=20/7。
（3）存在。
一：过P作PM垂直AB于M，当PQ=PM时（过Q也要同样做，此时PQ的长相同），作CH垂直AB于H，则CH=BC*AC/AB=12/5。由相似知，（CH-PM）/CH=PQ/AB
AB*（CH-PQ）=CH*PQ，5（12/5-PQ）=12/5PQ，
PQ=20/9；
二：取PQ的中点N，作NM垂直AB于M，则PM=QM，当MN=PQ/2时，三角形PQM为等腰直角三角形。由相似知，（CH-MN）/CH=PQ/AB，AB*（CH-PQ/2）=CH*PQ，
5（12/5-PQ/2）=12/5*PQ，
PQ=120/49。

Answer 2

设大三角形的高为x，5x=12

x=5分之12

周长比=高之比

5分之12比5分之3

高比例为4分之1.

即周长之比是4分之1

又因为大三角形周长为5+4+3=12

小三角形=12除4=3
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（1）设大三角形的高为x，5x=12

x=5分之12

周长比=高之比

5分之12比5分之3

高比例为4分之1.

即周长之比是4分之1

又因为大三角形周长为5+4+3=12

小三角形=12除4=3

（2）∵△PQC∽△ABC
∴CP/CA=CQ/CB=PQ/AB
∵AB=5 BC=3 AC=4
∴CP/4=CQ/3
∴CQ=3/4*CP
同理可得PQ=5/4*CP
∴C△PCQ=CP PQ CA=CP 5/4*CP 3/4*CP=3CP
∴C四边形PABQ=PA AB BQ PQ=4-CP AB 3-CQ PQ=12-1/2*CP
∴12-1/2*CP=3CP
∴CP=24/7

Answer 3

解：（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∵S△PQC=S四边形PABQ，
∴S△PQC：S△ABC=1：2，
∴CPCA=12=22，
∴CP=22•CA=22；
（2）∵△PQC∽△ABC，
∴CPCA=CQCB=PQAB，
∴CP4=CQ3，
∴CQ=34CP，
同理：PQ=54CP，
∴l△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+54CP+34CP=3CP，
I四边形PABQ=PA+AB+BQ+PQ，
=4-CP+AB+3-CQ+PQ
=4-CP+5+3-34CP+54CP
=12-12CP，
∴12-12CP=3CP
∴72CP=12
∴CP=247；