Question

已知数列｛an｝满足a1,a2-a1,a3 -a2,…an-an-1,…是首相为1，公比 为三分之一的等比数列 1.求数列｛an｝的

已知数列｛an｝满足a1,a2-a1,a3-a2,…an-an-1,…是首相为1，公比为三分之一的等比数列
1.求数列｛an｝的通项公式
2.若bn=(2n-1)an，求数列｛bn｝的前n项和Sn

Answer 1

(1)∵a1,a2-a1,a3-a2,…an-an-1,…是首相为1，公比为三分之一的等比数列
∴an－an-1＝(1/3)^(n－1)
an-1－an-2＝(1/3)^(n－2)
… …
a2－a1＝1/3
∴an－a1＝1/3＋(1/3)²＋…＋(1/3)^(n－1)＝[1－(1/3)^(n－1)]/2
∴an＝[3－(1/3)^(n－1)]/2
(2)bn＝(2n－1)an＝3/2(2n－1)－(2n－1)(1/3)^(n－1)/2
Sn＝3/2×[1＋3＋…＋(2n－1)]－1/2×[1＋3×1/3＋5×(1/3)²＋…＋(2n－1)(1/3)^(n－1)]
设T＝1＋3×1/3＋5×(1/3)²＋…＋(2n－1)(1/3)^(n－1)
∴T/3＝ 1/3＋3×(1/3)²＋…＋(2n－3)(1/3)^(n－1)＋(2n－1)(1/3)^n
∴2T/3＝1＋2[1/3＋(1/3)²＋…＋(1/3)^(n－1)]－(2n－1)(1/3)^n
＝1＋[1－(1/3)^(n－1)]－(2n－1)(1/3)^n＝2－(1/3)^(n－1)－(2n－1)(1/3)^n
∴Sn＝3/2×[1＋(2n－1)]n/2＋3/2×[2－(1/3)^(n－1)－(2n－1)(1/3)^n]
＝3/2×[n²＋3－2(n＋1)(1/3)^n]