Question

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-2cosC/cosB=2c-a/b。

（1）求sinC/sinA的值。
（2）若cosB=1/4，△ABC的周长为5，求b的长。

Answer 1

解：（1）由正弦定理可得：a/sinA=b/sinB=c/sinC
那么：(cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b可化为：
(cosA-2cosC)/cosB=(2sinC-sinA)/sinB
即sinBcosA-2sinBcosC=2cosBsinC-sinAcosB
sinBcosA+sinAcosB=2(sinBcosC+cosBsinC)
所以由两角和的正弦公式可得：
sin(A+B)=2sin(B+C)
即sinC=2sinA
所以：sinC/sinA=2

（2）由（1）可得：sinC/sinA=c/a=2，则有：c=2a
又△ABC的周长为5，即a+b+c=5
则可得：3a+b=5，即a=(5-b)/3，c=2(5-b)/3
由余弦定理有：b²=a²+c²-2ac*cosB
若cosB=1/4，那么：
b²=a²+4a²-2*a*2a*(1/4)=4a²
因为a>0,b>0，所以：b=2a
则：b=2(5-b)/3
即有3b=2(5-b)
5b=10
解得b=2