Question

数学：大佬做一下图片上的极限(详细些，谢谢)。咋写？

Answer 1

分母=ln(1/n+√(1+1/n²))～1/n+√(1+1/n²)－1
令u=1/n趋于零
lim=lim(e^u/u－1/u－1)/(√(1+u²)+u－1)
=lim(e^u－u－1)(√(1+u²)－u+1)/u(1+u²－(u－1)²)
=lim(e^u－u－1)2/u(2u)
约掉2后洛必达法则
=lim(e^u－1)/2u
=1/2

Answer 2

[图片] 如图，一个有极限的函数长什么样子？为什么bc不是②函数的两个极限呢？极限就是函数的界限这样说对吗？

Answer 3

n->无穷
分子
e^(1/n) = 1+ 1/n +(1/2)(1/n^2) +o(1/n^2)
ne^(1/n) = n+ 1 + (1/2)(1/n) +o(1/n)
ne^(1/n) -n-1 = (1/2)(1/n) +o(1/n)
分母
√(1+1/n^2) =1+ (1/2)(1/n^2) +o(1/n^2)
1/n+√(1+1/n^2) = 1+ 1/n +o(1/n)
ln[1/n+√(1+1/n^2)]
=ln[ 1+ 1/n +o(1/n)]
=1/n +o(1/n)
lim(n->无穷) [ne^(1/n) -n-1]/{ ln[1+√(n^2+1)] -lnn }
=lim(n->无穷) [ne^(1/n) -n-1]/ ln[1/n+√(1+1/n^2)]
=lim(n->无穷) (1/2)(1/n)/ (1/n)
=1/2

Answer 4

分享解法如下。令x=1/n。∴原式=lim(x→0+)(e^x-x-1)/{xln[x+√(1+x²)]}。
属“0/0”型，用洛必达法则。∴原式=lim(x→0+)(e^x-1)/{ln[x+√(1+x²)]+x/√(1+x²)}=…=1/2。
【亦可应用泰勒展开式求解。x→0，e^x=1+x+x²/2+O(x²)、√(1+x²)=1+x²/2+O(x²)、ln(1+x)=x-x²/2+O(x²)。结果是1/2】

Answer 5

的α次方就等于1，所以只需看sin1/x的极限，当x趋近于0正时，1/x就趋近于正无穷，又因为sin为周期函数