Question

复合函数的导数

Answer 1

1.设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);2.设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为D_。
M_∩Du≠_，那么对于M_∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(compositefunction)。

Answer 2

例如求复合对数函数y=In(x^2+1)的一阶和二阶导数。

∵y=ln(x^2+1)；

∴y＇=(x^2+1)＇/(x^2+1)=2x/(x^2+1)；

再用函数商的求导法则得:

y″=[(2x)＇(x^2+1)-2x(x^2+1)′]/(x^2+1)^2

=[2(x^2+1)-2x*2x]/(x^2+1)^2

=(2x^2+2-4x^2)/(x^2+1)^2

=(2-2x^2)/(x^2+1)^2

=2(1-x^2)/(x^2+1)^2。

其图片回答如下图所示: