Question

求曲线y=x^2-2x, y=0, x=1, x=3, 所围成平面图形， 绕y轴转一周所成立体的体积v

答案是：9π

Answer 1

由于y=x²-2x的对称轴为x=1，绕y轴旋转前的面积都在对称轴的右侧，因此把方程y=x²-2x写成
x²-2x-y=0，反解出x=[2+√(4+4y)]/2=1+√(1+y)(根号前只取正号)。

y=-1时x=1；y=0时x=2；y=3时x=3。

体积V={[-1，0]π∫[1+√(1+y)]²dy-π×1²×1}+{π×3²×3-[0，3]π∫[1+√(1+y)]²dy}。

={[-1，0]π∫[2+y+2√(1+y)]dy-π}+{27π-[0，3]π∫[2+y+2+√(1+y)]dy}。

={π[2y+(y²/2)+(4/3)(1+y)^(3/2)]︱[-1，0]-π}+{27π-π[2y+(y²/2)+(4/3)(1+y)^(3/2)]︱[0，3]}。

={(17π/6)-π}+{27π-π[6+(9/2)+(4/3)×8-(4/3)]}=11π/6+27π-119π/6=27π-18π=9π。

Answer 2

求曲线y=x²-2x, y=0, x=1, x=3, 所围成平面图形， 绕y轴转一周所成立体的体积v
解：(1)y=x²-2x=(x-1)²-1，顶点(1，-1)；x=0时y=0，因此在区间[1，2]内的图像在x轴的下面，
故题意规定的面积S=︱[1，2]∫(x²-2x)dx︱+[2，3]∫(x²-2x)dx=︱x³/3-x²︱[1，2]+（x³/3-x²)︱[2，3]
=︱(8/3-4)-(1/3-1)︱+[(9-9)-(8/3-4)]=︱-2/3︱+4/3=2/3+4/3=2
(2)由于y=x²-2x的对称轴为x=1，绕y轴旋转前的面积都在对称轴的右侧，因此把方程y=x²-2x写成
x²-2x-y=0，反解出x=[2+√(4+4y)]/2=1+√(1+y)(根号前只取正号)；
y=-1时x=1；y=0时x=2；y=3时x=3；
体积V={[-1，0]π∫[1+√(1+y)]²dy-π×1²×1}+{π×3²×3-[0，3]π∫[1+√(1+y)]²dy}
={[-1，0]π∫[2+y+2√(1+y)]dy-π}+{27π-[0，3]π∫[2+y+2+√(1+y)]dy}
={π[2y+(y²/2)+(4/3)(1+y)^(3/2)]︱[-1，0]-π}+{27π-π[2y+(y²/2)+(4/3)(1+y)^(3/2)]︱[0，3]}
={(17π/6)-π}+{27π-π[6+(9/2)+(4/3)×8-(4/3)]}=11π/6+27π-119π/6=27π-18π=9π