Question

如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D

若AC=12CM，求BD的长

Answer 1

（1）因为CF⊥AE，所以∠DFE=90°，且BD⊥BC，∠DBC=90°
∠D+∠BEA=180°，∠BEA+∠AEC=180°，所以∠D=∠AEC，∠DCB=∠EAC
在三角形DBC和三角形ECA中
∠DBC=∠ACE，∠DCB=∠EAC，AC=BC
所以三角形DBC全等于三角形ECA
所以AE=CD
（2）由（1）得BD=EC，又BC=AC
AE为BC边中线，E为BC中点，BC=2EC
所以BD=EC=二分之一AC，AC=12cm
所以BD=6cm

Answer 2

直角三角形ACE与直角三角形FEC是相似三角形
所以EF:EC=EC:AE 由已知得 EC=6，所以EF=6/5倍根号5，FC=12/5倍根号5，
直角三角形BCD与直角三角形EFC是相似三角形
所以BD:EF=FC:BC 所以 BD=3

Answer 3

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F点，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D点．
（1）求证：AE=CD；
（2）若AB=2
2
cm，求线段BD的长．
考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理．
专题：几何综合题．
分析：（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．（2）由（1）得BD=EC=12BC=12AC，且AC=12，即可求出BD的长．
解答：（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．

（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，
∴△CDB≌△AEC（HL）
∵AB=22．
∴AC=2
∴BD=EC=12BC=12AC，
∴BD=1．

Answer 4

直角三角形ACE与直角三角形FEC是相似三角形
所以EF:EC=EC:AE 由已知得 EC=6，所以EF=6/5倍根号5，FC=12/5倍根号5，
直角三角形BCD与直角三角形EFC是相似三角形
所以BD:EF=FC:BC 所以 BD=3赞