Question

已知函数f(x)= -x^3+ax+b 若对任意a属于[3,4],函数在R上都有三个零点，求实数B的取值范围

Answer 1

解：分析的f(x)在x趋于-∞时，f(x)趋于﹢∞，f(x)在x趋于﹢∞时，f(x)趋于﹣∞，函数图形为类似倒置的N，只有在x由小变大的过程中极小值小于零，极大值大于零才能保证函数在R上都有三个零点。
由f(x)= -x^3+ax+b,求导得：f'(x)=-3*x^2+a,
令f'(x)=0,
得到极值点x1=﹣(a/3)^½,x2=(a/3)^½,
当x=x1,f(x1)=-(﹣(a/3)^½)^3+a*(﹣(a/3)^½)+b＜0
b＜4*(a/3)^(3/2)，b应小于右边最小值，而右边为单调递增，取a=3，得b＜4；
同理
当x=x2,f(x2)=-((a/3)^½)^3+a*((a/3)^½)+b＞0
b＞-4*(a/3)^(3/2)，b应大于右边最大值，而右边为单调递减，取a=3，得b＞﹣4；
所以b属于[-4,4]