Question

已知函数f(x)=x-(a*x^2)/2-ln(1+x),其中a属于R (1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x≥0上的最大值为0，求a的取值范围。

Answer 1

已知函数f(x)=x-(a*x^2)/2-ln(1+x),其中a属于R, (1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x≥0上的最大值为0，求a的取值范围。
解析：∵函数f(x)=x-(a*x^2)/2-ln(1+x), 其定义域x>-1
当a=0时
函数f(x)=x-ln(1+x)==> f’(x)=x/(1+x)=0==>x=0
f’’(x)=1/(1+x)==>f”(0)=1>0
∴函数f(x)在x=0处取极小值
∴x∈(-1,0)时，函数f(x)单调减；x∈[0,+∞)时，函数f(x)单调增；
当a>0时
令f’(x)=1-ax-1/(1+x)=[(1-a)x-ax^2]/(1+x)=0==>x1=0,x2=(1-a)/a
f’’(x)=-a+1/(1+x)^2==> f’’(0)=1-a, f’’((1-a)/a)=a^2-a
当0<a<1时
f’’(0)>0，函数f(x)在x=0处取极小值；f’’((1-a)/a)<0,函数f(x)在x=(1-a)/a处取极大值；
∴x∈(-1,0)或((1-a)/a,+∞)时，函数f(x)单调减；x∈[0, (1-a)/a]时，函数f(x)单调增；
当a=1时
X1=x2=0
f’’(0)=0，f’(x)<0函数f(x)在定义域内单调减；
当a>1时
f’’(0)<0，函数f(x)在x=0处取极大值；f’’((1-a)/a)>0,函数f(x)在x=(1-a)/a处取极小值；
∴x∈(-1, (1-a)/a )或(0,+∞)时，函数f(x)单调减；x∈[ (1-a)/a,0]时，函数f(x)单调增；
当a<0时
令f’(x)=1-ax-1/(1+x)=[(1-a)x-ax^2]/(1+x)=0==>x1=0,x2=(1-a)/a<-1(舍)
f’’(x)=-a+1/(1+x)^2==> f’’(0)=1-a>0
∴函数f(x)在x=0处取极小值
∴x∈(-1,0)时，函数f(x)单调减；x∈[0,+∞)时，函数f(x)单调增；
综上：
当a<=0时
x∈(-1,0)时，函数f(x)单调减；x∈[0,+∞)时，函数f(x)单调增；
当0<a<1时
x∈(-1,0)或((1-a)/a,+∞)时，函数f(x)单调减；x∈[0, (1-a)/a]时，函数f(x)单调增；
当a=1时
函数f(x)在定义域内单调减；
当a>1时
x∈(-1, (1-a)/a )或(0,+∞)时，函数f(x)单调减；x∈[ (1-a)/a,0]时，函数f(x)单调增；

(2)解析：∵f(x)在x≥0上的最大值为0
由（1）可知当a=1时，函数f(x)在定义域内单调减；
当a>1时，x∈(-1, (1-a)/a )或(0,+∞)时，函数f(x)单调减；
∵f(0)=0
∴f(x)在x≥0上的最大值为0，a的取值范围为a>=1

Answer 2

（1）f'(x)=1-4ax-1/(x+1),(x>-1)
1>.a=0时，(-1,0)减，其他两部分增
2>.x!=0时
令f'(x)=0,解方程即可
f'(x)>0,
f'(x)<0,
（2）显然a!=0,结合（1）中的三种情况，数形结合即可找到a的取值范围