Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
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Answer 1

解：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12-4t，

∴5t=12-4t，解得t=4/3，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：

i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；

ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；

iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

Answer 2

解：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12-4t，

∴5t=12-4t，解得t=4/3，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：

i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；

ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；

iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

Answer 3

解：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，∴AF=5cm．（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC=5t，QA=12-4t，∴5t=12-4t，解得t=4/3，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

Answer 4

解：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12-4t，

∴5t=12-4t，解得t=4/3，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：

i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；

ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；

iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

Answer 5

解：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12-4t，

∴5t=12-4t，解得t=4/3，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：

i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；

ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；

iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．