设f(x) 在[a,b] 上连续,且f(x)>0.求证:∫(a,b)f(x)dx*∫(a,bdx/f(x)≥(b-a)^2.
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证明 因为f(x)>0,所以√f(x)>0,1/√f(x)>0.
因而∫(a,b)[t*√f(x)+1/√f(x)]^2dx≥0,t为任意实数,
即∫(a,b)t^2*f(x)dx+2t∫(a,b)dx+∫(a,b)[dx/f(x)]≥0.
设A=∫(a,b)f(x)dx,B=∫(a,b)dx,C=∫(a,b)[dx/f(x)]
则上式为:At^2+2Bt+C≥0,
这是关于t的二次三项式,且不小于零,故由判别式得:
A*C-B^2≥0,即
∫(a,b)f(x)dx*∫(a,b)[dx/f(x)]≥[∫(a,b)dx]^2=(a-b)^2.
因而∫(a,b)[t*√f(x)+1/√f(x)]^2dx≥0,t为任意实数,
即∫(a,b)t^2*f(x)dx+2t∫(a,b)dx+∫(a,b)[dx/f(x)]≥0.
设A=∫(a,b)f(x)dx,B=∫(a,b)dx,C=∫(a,b)[dx/f(x)]
则上式为:At^2+2Bt+C≥0,
这是关于t的二次三项式,且不小于零,故由判别式得:
A*C-B^2≥0,即
∫(a,b)f(x)dx*∫(a,b)[dx/f(x)]≥[∫(a,b)dx]^2=(a-b)^2.
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